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Applied Dynamical Systems Theory

Angewandte Dynamische Systeme

In vielen Gebieten der Wissenschaft geht es darum, einen zeitabhängigen Prozess durch ein mathematisches Modell zu beschreiben. Mit der Modellierung bezweckt man einerseits das Verständnis empirischer Beobachtungen (Naturwissenschaften) und andererseits die Verwendung dieser Einsichten für technische Zwecke (Ingenieurwissenschaften). Die Modellierung kann streng deterministisch sein oder auch stochastische Aspekte beinhalten, und sie kann mit diskreten oder mit stetigen Modellen erfolgen. Natürlich sind auch Mischformen möglich. Neben der quantitativen Analyse sind auch qualitative Fragen, wie etwa diejenige nach dem Langzeitverhalten des betrachteten Systems oder der Abhängigkeit des Systemverhaltens von einem oder mehreren Parametern von Bedeutung.

Übersicht

In diesem Projekt geht es darum, verschiedene Aspekte der Strukturbildung dynamischer Systeme zu untersuchen, unter besonderer Berücksichtigung von Anwendungen verschiedenster Art.

Konkret soll ein möglichst grosser und flexibel einsetzbarer „Werkzeugkasten“ entwickelt werden, der die Untersuchung einer Vielfalt von Systemen bezüglich ihres Langzeitverhaltens und anderer Aspekte von Strukturbildung ermöglichen soll. Damit soll eine für einen möglichst grossen Anwenderkreis nützliche Kompetenz entwickelt werden.

Von einem theoretischen Standpunkt aus geht es um die Frage, inwiefern und unter welchen Bedingungen regelbasierte Systeme ein vorhersagbares Verhalten zeigen. Zwar sind zu diesem Thema schon sehr viele Untersuchungen mit interessanten Resultaten durchgeführt worden. Die meisten dieser Arbeiten beschränken sich aber auf die Analyse eines Einzelproblems; im vorliegenden Projekt soll versucht werden, Grundstrukturen herauszuarbeiten, die all diesen Einzelproblemen zugrundliegen, und es so zu ermöglichen, Querverbindungen zwischen Problemen herzustellen, die auf den ersten Blick als unvereinbar erscheinen, und damit Erkenntnisse aus einem Gebiet auch für ganz andere Gebiete nutzbar zu machen.

Die verwendeten Methoden und Modelle sollen sich zudem durch eine gewisse Robustheit auszeichnen: Da das mathematische Modell einer realen Situation meistens nicht alle Aspekte des Problems adäquat abzubilden vermag, soll das Modell robust gegenüber kleinen Störungen sein, d.h. seine Kernaussagen sollen bei einer kleinen Änderung der Parameter oder Anfangsbedingungen des Systems erhalten bleiben. Nur so kann erwartet werden, etwas zum Verständnis wichtiger Probleme beitragen zu können.

Anwendungen

Obwohl alle Untersuchungen des vorliegenden Projekts durch Anwendungen motiviert sind, liegt der Fokus nicht auf einem einzelnen Anwendungsgebiet, sondern auf dem Aufbau eines methodischen Rüstzeugs, das die Untersuchung eines breiten Spektrums an konkreten Problemen ermöglichen soll. Der Aufbau dieses Rüstzeugs soll sich aber an den Erfordernissen der Anwendungsprobleme orientieren; diese können aus verschiedenen Gebieten kommen. Wichtig sind insbesondere Probleme aus den Bereichen Physik (z.B. Schwingungsprozesse aller Art, vor allem Systeme von gekoppelten Oszillatoren), Biologie/Neurowissenschaften (z.B. zelluläre Automaten als Modelle für Wachstumsprozesse, künstliche neuronale Netzwerke als Modelle für kognitive Prozesse) und Regelungstechnik (z.B. Regelkreise als dynamische Systeme). Andererseits sind aber auch Bezüge zur künstlerischen Forschung (z.B. Klangsynthese) denkbar. Die meisten Aspekte des Forschungsprojekts lassen sich als Manifestationen des Prinzips „Stabilität oder Chaos“ verstehen. Chaos ist dabei aber nicht negativ zu verstehen: Viele interessante Phänomene und Strukturbildungen werden gerade erst durch ein chaotisches Verhalten des Systems ermöglicht. So gibt es etwa in der Kryptographie Verschlüsselungstechniken, die erst durch das „chaotische“ Verhalten eines zugrundeliegenden Systems ermöglicht werden.

Teilprojekte                                                                               

·        Integrable Systeme und Störungstheorie: Als integrable Systeme werden mathematische Systeme bezeichnet, die durch eine ausreichende Zahl von Erhaltungsgrössen („Integralen“) charakterisiert werden können. Geometrisch lassen sich solche Systeme als Faserungen des Phasenraums in invariante Unterraume charakterisieren, die topologisch die Form eines Torus haben und physikalisch als Niveaumengen dieser Erhaltungsgrössen aufgefasst werden können. Die Dynamik kann hier insofern gut verstanden werden, als dass eine Trajektorie auf denjenigen dieser invarianten Unterraume beschränkt bleibt, auf dem sie gestartet ist. Dies ist eine starke Stabilitätsaussage, deren Wert allerdings dadurch relativiert wird, als dass eher wenige in den Anwendungen vorkommende Systeme diese Integrabilitätsbedingungen erfüllen. Die interessante Frage an diesen integrablen Systemen ist daher, ob sich deren gut verstandene Dynamik auch auf kleine Störungen überträgt, d.h. ob sich die Stabilität dieser Systeme auch auf kleine Störungen übertragen lässt. Denn auch wenn nur wenige Anwendungsprobleme direkt die Form eines integrablen Systems im strengen Sinn haben, lassen sich doch viele wichtige Anwendungsprobleme aus Gebieten wie der Himmelsmechanik oder der Festkörperphysik als kleine Störung eines solchen integrablen Systems auffassen. Daher ist es von grossem praktischem Wert, wenn sich Aussagen über das Verhalten des ungestörten (aber „unrealistischen“) Systems auf das gestörte (aber „realistische“) System übertragen lassen.

·        Synchronisation und Retardierung: Sobald verschiedene natürliche oder technische Systeme miteinander in Beziehung treten, besteht die Tendenz, dass diese Systeme ihr Verhalten einander anpassen, oder mit anderen Worten, dass Synchronisation auftritt. In einer etwas enger gefassten Bedeutung versteht man unter Synchronisation die Anpassung der Rhythmen oszillierender Objekte aufgrund ihrer wechselseitigen Interaktion. Synchronisation kann in physikalischen, chemischen, biologischen, medizinischen, ökonomischen oder sozialen Systemen auftreten; das Spektrum reicht von der Synchronisation eines einzelnen van der Pol-Oszillators durch eine externe Anregung bis zur Synchronisation des Applauses bei einem Konzertpublikum. Man kann das Phänomen Synchronisation auch als Manifestation der natürlichen Tendenz zur Selbstorganisation komplexer Systeme sehen.

·        Komplexe Systeme: Viele dynamische Systeme lassen sich nicht auf einzelne, mathematisch exakt beschreibbare Teilsysteme herunterbrechen. Der Begriff „Komplexe Systeme“ ist ein Sammelbegriff zur Beschreibung solcher Phänomene; er lässt sich nicht exakt definieren, bezeichnet aber Systeme, die sich durch eine Reihe bestimmter Eigenschaften auszeichnen. Dazu gehört, dass diese Systeme agentenbasiert sind, d.h. aus einzelnen Teilen (Agenten) bestehen, die miteinander in Wechselwirkung stehen. Weiter tritt das Phänomen der Emergenz auf: Damit werden Eigenschaften des Systems bezeichnet, die sich nicht aus der Analyse des Verhaltens einzelner isolierter Systemkomponenten erklären lassen. Komplexe Systeme sind zur Selbstorganisation und Selbstregulation fähig, d.h. zur Ausbildung stabiler Strukturen, die die Erfüllung diverser Aufgaben ermöglichen. Dies gilt erst recht, wenn es sich um v Systeme handelt, d.h. wenn sie die Möglichkeit haben, ihren Zustand oder ihre Interaktionsregeln an die Umwelt anzupassen und aus Erfahrung zu lernen. Komplexe und adaptive Systeme haben also einen viel höheren Komplexitätsgrad als integrable Systeme. Sie werden meist mit dem Paradigma der Objektorientierten Modellierung untersucht. Auch hier sind aber Grundmuster gefragt, die in verschiedensten Anwendungsproblemen, wie z.B. der Dynamik von Fussgängerströmen oder der Regulation der Temperaturen in Gebäuden, zum Einsatz kommen.

·        Diskrete und stetige Systeme: Anstatt Systeme nach unterschiedlichen Komplexitätsgraden (integrabel – synchronisierbar – komplex – komplex-adaptiv) einzuteilen, können sie auch danach unterteilt werden, ob ihre Modellierung durch ein stetiges oder ein diskretes Modell erfolgt (auch Mischformen sind möglich). Meistens erfolgt die Modellierung natürlicherweise durch ein stetiges Modell, da es sich um einen in der Zeit ablaufenden Prozess handelt. Sobald man jedoch zu einer rechnergestützten Simulation übergeht (d.h. eine Digitalisierung des Modells vornimmt), muss die Modellierung zwingenderweise diskret erfolgen. Es gibt jedoch auch Modelle, die von vornherein diskret gegeben sind, z.B. wenn es sich um einen auf einem diskreten Gitter ablaufenden Prozess handelt. Oft können stetige und diskrete Modelle parallel betrachtet werden und liefern ähnliche Erkenntnisse; es gibt jedoch auch Fälle, bei denen durch die Diskretisierung bzw. Digitalisierung Phänomene auftreten, die nicht dem ursprünglichen Modell entsprechen. Auf diese Phänomene und anderen beim Übergang zwischen stetigen und diskreten Modellen auftretenden Probleme ist ein besonderes Augenmerk zu legen.

 

Kurzfassung

In diesem Projekt geht es darum, verschiedene Aspekte der Strukturbildung dynamischer Systeme zu untersuchen, unter besonderer Berücksichtigung von Anwendungen verschiedenster Art. Dabei soll ein möglichst grosser und flexibel einsetzbarer Werkzeugkasten entwickelt werden, der die Untersuchung einer Vielfalt von Systemen bezüglich ihres Langzeitverhaltens und anderer Aspekte von Strukturbildung ermöglichen soll. Damit soll eine für einen möglichst grossen Anwenderkreis nützliche Kompetenz entwickelt werden.